BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar
Belakang
Banyak sekali angka yang akan kita
temui dalam matematika. Angka-angka tersebut memang merupakan dasar dalam
bidang matematika itu sendiri. Begitu banyaknya jenis dan sifat angka dalam
matematika, menuntut kita untuk tahu secara rinci mengenai angka-angka tersebut.
Salah satunya seperti yang akan penulis bahas dalam makalah ini adalah bilangan
bulat dan pecahan. Bilangan bulat itu sendiri terdiri dari banyak bilangan
diantaranya bilangan asli, cacah, bilangan positif, bilangan negatif dan nol.
Sedangkan pecahan terdiri dari pecahan biasa, desimal dan campuran.
Semua bilangan di atas pasti akan
kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Bukan hanya pada saat mempelajari
matematika, melainkan pasti akan kita aplikasikan dalam kegiatan kita
sehari-hari. Bayangkan saja apabila seseorang kita menguasai operasi pada
bilangan-bilangan tersebut. Kita dapat pastikan bahwa orang yang tidak mampu
memahami maupun megoperasikan bilangan-bilangan tersebut akan mengalami
kesulitan dalam kesehariannya. Jadi, melalui makalah ini, penulis akan
menjelaskan secara rinci tentang bilangan bulat dan pecahan tersebut.
Harapan penulis, semoga para pembaca
dapat mengerti dan memahami tentang bilangan bulat dan pecahan yang akan
dibahas lewat makalah ini. Karena memahami tentang bilangan-bilangan tersebut
merupakan hal yang sangat mutlak, terutama bagi para calon pendidik terkhusus
guru matematika.
1.2
Rumusan
Masalah
1. Apa
saja jenis-jenis dan cara pengoperasian bilangan bulat?
2. Apa
saja sifat-sifat dan cara pengoperasian pecahan?
1.3
Tujuan
1. Untuk
mengetahui jenis-jenis dan operasi pada bilangan bulat.
2. Untuk
mengetahui sifat-sifat dan operasi pada pecahan.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Bilangan Bulat
2.1.1
Pengertian
Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang memuat bilangan bulat
positif, nol dan bilangan bulat negatif.
Dan dinyatakan dengan B.
Jadi B = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,… }
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di
antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
Gambar bilangan bulat pada garis bilangan adalah sebagai
berikut :
.
. . . . . . . . . .
-5 -4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
bilangan bulat negatif bilangan bulat positif
Pada garis bilangan di atas, jika suatu bilangan semakin
ke kanan nilai bilangannya semakin besar, dan semakin ke kiri semakin kecil.
2.1.2
Operasi
Hitung Pada Bilangan Bulat
1.
Penjumlahan
Dua Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
a.
Penjumlahan
dua bilangan bulat tanpa alat Bantu
Contoh : -5 + 3 =…….
Caranya jika kita pinjam 5 kemudian membayar 3, maka kita
masih punya pinjaman 2. Jadi -5 + 3 = -2
b.
Penjumlahan
dua bilangan bulat dengan garis bilangan
Contoh
1. 5
+ (-3) =…….
. . . . . . . . . . .
-3 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
5 + (-3) = 2
2. -7
+ 2 =…….
. . . . . . . . . . .
-8 -7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-7 + 2 = -5
c. Sifat-sifat
penjumlahan bilangan bulat
Operasi pada
himpunan bilangan bulat memenuhi sifat :
1) Tertutup
Untuk
sembarang bilangan bulat p dan q, jika p + q = r, maka r adalah bilangan bulat
Contoh
2 + (-5) = -3
2 dan -5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan
bulat.
2) Komunitatif
Untuk
sembarang bilangan bulat p dan q, berlaku p + q = q + p
Contoh
1. 2
+ 3 = 3 + 2 = 5
2. -3
+ 1 = 1 + (-3) = -2
3) Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r, berlaku
(p + q) + r = p + (q + r).
Contoh : (2
+ (-1)) + 3 = 2 + (-1 + 3)
1
+ 3 = 2 + 2
4 = 4
4) Mempunyai
unsur identitas
Untuk sembarang
bilangan bulat p, maka p + 0 = 0 + p = p
0 adalah unsur identitas ( elemen netral
) pada penjumlahan.
2. Pengurangan
Bilangan Bulat
a.
Pengurangan
dua bilangan bulat dengan garis bilangan
Contoh
:
5 - 3 =……….
. . . . . . . . . . .
-3 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
5 - 3 = 2
b.
Pengurangan
sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangnya
Dalam bentuk umum ditulis jika a dan b adalah bilangan
bulat, maka a – b = a + (-b)
Contoh :
1. 4
– 6 = 4 + (-6) = -2
2. 2
– (-3) = 2 + 3 = 5
c.
Pengurangan
dua bilangan bulat bersifat tertutup
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p - q = r,
maka r adalah bilangan bulat
Contoh : 2 - 5 =
-3
2 dan 5 adalah
bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.
3.
Perkalian
Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
a. Mengingat
kembali arti perkalian dua bilangan
Contoh :
1. 2
x 3 artinya 3 + 3 = 6
2. 4
x (-2) artinya -2 + (-2) + (-2) + (-2) = -8
3. (-7)
x (-3) = 21
Hal di atas
menunjukan bahwa :
1)
Hasil
kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
2)
Hasil
kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya
adalah bilangan bulat negatif.
3)
Hasil
kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
b. Sifat-sifat
perkalian bilangan bulat
1) Tertutup
Untuk
sembarang bilangan bulat p dan q, jika p x q = r, maka r adalah bilangan bulat
Contoh : 2 x (-5) =
-10
2 dan _5 adalah
bilangan bulat, maka -10 adalah bilangan bulat.
2) Komunitatif
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q,
berlaku p x q = q x p
Contoh
1. 2
x 3 = 3 x 2 = 6
2. -3
x 1 = 1 x (-3) = -3
3) Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r, berlaku (p x q) x r = p x (q x
r).
Contoh
: (2 x (-1)) x 3 = 2 x (-1 x 3)
-2 x 3 = 2 x -3
-6 = -6
4) Mempunyai
unsur identitas
Untuk sembarang
bilangan bulat p, maka p x 1 = 1 x p = p
1 adalah unsur identitas ( elemen netral
) pada perkalian.
5) Perkalian
bilangan nol
Untuk sembarang
bilangan bulat p, maka 0 x p = p x 0 = 0
Contoh : 3 x 0 = 0 x 3 = 0
6) Distributif
Untuk sembarang
bilangan bulat p, q dan r berlaku
·
p
x (q + r) = (p x q) + (p x r)
·
p
x (q - r)=(p x q) - (p x r)
Contoh : 8 x ((-2) + 3) = (8 x (-2)) +
(8 x 3)
4. Pembagian
Bilangan Bulat
Pembagian merupakan kebalikan dari
perkalian
Contoh :
a. 8
: 2 = 4 sebab 2 x 4 = 8
b. -9
: 3 = -3 sebab 3 x (-3) = 9
c. -10
: (-2)=5 sebab -2 x 5 = -10
Dari contoh diatas terlihat bahwa :
a.
Hasil
bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
b.
Hasil
bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya
adalah bilangan bulat negative.
c.
Hasil
bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
5. Perpangkatan
Bilangan Bulat.
a. Mengingat
kembali arti perpangkatan
Contoh
1. 22
= 2 x 2 = 4
2. 44
= 4x4x4x4 = 256
3. (-3)3
= (-3)x(-3)x(-3)= -27
Secara umum perpangkatan ditulis :
Untuk sembarang a
bilangan bulat, dan n bilangan asil, berlaku
an =
b. Sifat-sifat
perpangkatan
Untuk sembarang
bilangan bulat a,m dan n , berlaku
1) amxan=am+n
2) am:an=am-n
3) (am)n=amxn
Contoh
1. 52x53=52+3=55
2. 35:32=35-2=33
3. (23)2=23x2=26
2.2 Pecahan
2.2.1
Pengertian
Pecahan
Pengertian pecahan melalui benda konkrit gambar dan
lambangnya,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
1
bagian
|
|
 |
|
 |
|
 | ||
│ │ │ │ │ │ │ │ │
0
Jarak
titik 0 sampai 1 dibagi menjadi 8 bagian yang sama, sehingga terdapat bilangan
,
,
, dan seterusnya.
- Mengurutkan pecahan
Contoh
:
Susunlah deretan pecahan
dalam urutan
naik
Jawab
Karena
maka
Jadi, deretan pecahan dalam urutan naik adalah
- Jenis-Jenis Pecahan
a. Pecahan
Murni
Pecahan
murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Contoh :
,
,
, dan seterusnya
b. Pecahan
Tidak Murni
Pecahan
tidak murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari atau sama dengan
penyebutnya. Contoh :
dan seterusnya.
c. Pecahan
Campuran
Pecahan
campuran adalah pecahan yang terdiri atas bilangan bulat dan bagian bilangan
pecahan murni. Contoh :
dan seterusnya.
Pecahan
tidak murni dapat dinyatakan menjadi pecahan campuran dan sebaliknya. Contoh :
1. Nyatakan
menjadi pecahan campuran
Jawab :
2.
Nyatakan
3
dalam bentuk
pecahan tidak murni.
Jawab : 3
d. Bentuk
desimal
1) Dalam
sistem desimal, angka-angka dalam suatu bilangan mempunyai arti :
Ribuan 1 2 3 4, 5 6 7 Perseribuan
Ratusan Perseratusan
Puluhan Persepuluhan
Satuan
2) Dengan
menggunakan pengertian tersebut, maka
·
Bilangan desimal dapat diubah menjad
pecahan campuran atau pecahan murni
Contoh : 0,2 =
·
Pecahan campuran atau pecahan murni
dapat diubah menjadi bilangan desimal.
Contoh :
e. Persen
Persen artinya perseratusan, ditulis dengan notasi %.
Jadi pecahan dengan penyebut 100 disebut persen
Contoh :
Untuk mengubah
pecahan menjadi persen :
Contoh :
2.2.2
Operasi
Hitung pada Pecahan
1. Penjumlahan
dan Pengurangan Pecahan
a. Penjumlahan
atau pengurangan dua pecahan atau lebih, dapat dilakukan jika pecahan-pecahan
itu memiliki penyebut yang sama
Contoh
:
1.
2.
b. Untuk
penjumlahan atau pengurangan yang penyebutnya tidak sama kita harus samakan
dahulu penyebutnya dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya.
Contoh
1.
2.
c. Penjumlahan
pecahan memiliki sifat-sifat berikut :
1) Komutatif
Contoh:
2) Asosiatif
Contoh:
- Perkalian dan Pembagian Pecahan
a. Hasil
perkalian dua pecahan diperoleh dengan mengalikam pembilang dengan pembilang
dan penyebut dengan penyebut.
Contoh :
b. Untuk
membagi suatu pecahan dengan pecahan lain sama artinya dengan mengalikan
pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua
Contoh :
- Penjumlahan dan Pengurangan pada Pecahan Desimal
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan
decimal, maka tanda koma desimal diletakan pada satu lajur, sehingga angka
ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya
masing-masing terletak pada satu lajur.
Contoh
:
1. 234,56
+ 45,678 disusun menjadi 234,56
45,678 +
280,238
2. 67,27
– 21,213 disusun menjadi 67,27
21,213 –
46,057
- Perkalian dan Pembagian pada Pecahan Decimal
a. Perkalian
pada pecahan decimal
Perkalian dengan
10,100,1000, dan seterusnya dilakukan dengan menggeser koma decimal ke kanan
menurut angka nol pada bilangan-bilangan di atas2,723 x 100 = 272,3
Tanda koma bergeser 2 kali berdasarkan banyaknya 0
Banyaknya tempat decimal dari hasil kali dua bilangan
decimal dengan menjumlahkan banyak tempat dari pengali-pengalinya
Contoh :
2
tempat decimal 3 tempat
decimal 5 tempat decimal
b. Pembagian
bilangan dalam bentuk decimal
Pembagian
dengan 10, 100, 1000 dan seterusnya dilakukan dengan menggeser tanda koma
kekiri menurut banyaknya angka nol pada bilangan-bilangan diatas.
Contoh
: 1,725 x 1000 = 0,001725
Tanda koma bergeser 3 angka.
Untuk membagi suatu bilangan dengan bilangan decimal,
buatlah agar pembaginya menjadi bilangan bulat contoh
1. 13,2183
: 0,14 diubah menjadi :
2.
1321,83
: 14 ( pembagi dan bilangan yang dibagi dikalikan 100 )
BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
Bilangan bulat adalah bilangan yang memuat bilangan bulat
positif, nol dan bilangan bulat negatif.
Bilangan
lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
Sedangkan jenis-jenis pecahan antara lain pecahan murni, pecahan tidak
murni, pecahan biasa, dan pecahan campuran.
3.2 Saran
Adapun saran yang dapat penulis sampaikan, setelah
penulis mengkaji tentang bilangan
bulat dan pecahan adalah apabila kita ingin memahami secara baik tentang
operasi pada bilangan bulat maupun pecahan, sebaiknya pembaca benar-benar harus
mampu memahami dan menjalankan dasar-dasar pengoperasian matematika yakni
penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Dengan mampu memahami dan
menjalankan operasi dasar tersebut, maka para pembaca tidak akan mengalami
kesulitan dalam pengoperasian bilangan bulat maupun pecahan.
DAFTAR PUSTAKA
A. Wagiyo dan
F. Surati. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Penerbit : Pusat
Perbukuan Depdiknas. Jakarta
Agus,
Nuniek Avianti. 2008. Mudah
Belajar Matematika kelas VIII. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas.
Jakarta
Dewi
Nuharini & Tri Wahyuni. 2008. MATEMATIKA Konsep dan Aplikasinya. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas. Jakarta
Endah
Budi Rahaju , R.Sulaiman, etc. 2008. Matematika
Kelas 2 SMP. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas. Jakarta
Sukino & Wilson, S. 2006. Matematika untuk SMP
Kelas VIII. Erlangga: Jakarta.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar