MAKALAH GEOMETRI

KATA PENGANTAR

Puji  syukur  kita  panjatkan  kehadirat  Tuhan YME yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya   kepada    kita  sehingga   penyusun   berhasil menyelesaikan   makalah Geometri Euclide  tepat  pada  waktunya yang berjudul “Geometri”.

Makalah ini berisikan tentang segala sesuatu yang berhubungan dengan geometri euclide, yakni: sejarah, kekongruenan dan kesebangunan pada segitiga maupun segiempat.

Penyusun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran  dari semua pihak yang bersifat  membangun  selalu penyusun harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, penyusun  sampaikan  terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam   penyusunan   makalah  ini  dari   awal  sampai  akhir.  Semoga dari makalah ini,  kita sebagai calon guru mampu memahami materi geometri euclide ini dan mampu membangkitkan motivasinya dalam belajar sehingga dapat menghasilkan peserta didik yang berkualitas.

Pagaralam, 15 Agustus 2015

Penyusun

DAFTAR ISI

BAB I  PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

1.2  Rumusan Masalah

1.3  Tujuan

BAB II  PEMBAHASAN

2.1 Geometri Bidang Euclid

2.1.1 Sejarah Geometri Bidang Euclid

2.1.2  Struktur Geometri Bidang Euclid

2.1.3 Pengganti Postulat Sejajar Euclid

2.1.4 Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair

2.1.5 Peran Postulat Sejajar Euclid

2.1.6 Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid

2.1.7 Solusi Wallis atas Permasalahan yang ada

2.1.8 Percobaan Saccheri untuk Memperthankan Postulat Euclid

2.2 Lima Aksonia

2.3 Geometri Non-Euclidean

2.4 Sebangunan dan Kongruen

2.4.1 Pengertian Kesebangunan

2.4.2 Pengertian Kongruen

2.4.3        Kesebangunan Segitiga

BAB III  PENUTUP

3.1 Simpulan

3.2 Saran

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya.

Geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu geo yang artinya bumi dan metroyang artinya mengukur. Geometri adalah cabang Matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang berkenaan dengan relasi ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri. Aksioma demikian tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan logis.

Menurut Novelisa Sondang  bahwa “Geometri menjadi salah satu ilmu Matematika yang diterapkan dalam dunia arsitektur; juga merupakan salah satu cabang ilmu yang berkaitan dengan bentuk, komposisi, dan proporsi.” Muhamad Fakhri Aulia menyebutkan bahwa  geometri dalam pengertian dasar adalah sebuah cabang ilmu yang mempelajari pengukuran bumi dan proyeksinya dalam sebuah bidang dua dimensi.Alders (1961) menyatakan bahwa ”Geometri adalah salah satu cabang Matematika yang mempelajari tentang titik, garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungannya antara yang satu dengan yang lain.”

Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian.

Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam lambang. Seperti titik dilambangkan dengan hurup kapital misalnya A, B, C dan seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB  (dibaca: garis AB), dan lambang-lambang yang lain seperti AB yang menunjukkan segmen AB.

Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar. Bagaimana perubahan dalam perilaku ini bisa diatasi?

Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontoversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya ( sudut dalam ) pada sisi transversal adalah kurang dari 180^o, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.

Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pad aide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.

Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika tertua yang selalu digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang Euclid, kecuali fakta bahwa dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM. Pokok persoalan utama dari karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori bilangan. Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan Euclid Geometry 2 ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar. Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o , garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.

1.2  Rumusan Masalah

Mengingat akan sifat makalah ini maka dirumuskan masalah sebagai berikut :

1).    Bagaimana struktur geometri bidang Euclid dan kaitannya dengan postulat sejajarnya?

2). Apa yang dapat menjadi postulat pengganti postulat sejajar Euclid dan bagaimana postulat tersebut bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid?

3). Bagaimana peranan pentingnya postulat sejajar Euclid dalam pembuktian geometri?

4). Bagaimana pembuktian ahli logika lainnya tentang postulat sejajar Euclid?

1.3  Tujuan

Berdasarkan dari latar belakang dan rumusan masalah maka penulis dalam makalah ini bermaksud untuk menunjukkan kebenaran postulat sejajar Euclid dalam pembuktian geometri berdasarkan garis tranversalnya dan bukti-bukti penting lainnya dalam mempertahankan postulat Euclid tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Geometri Bidang Euclid

2.1.1 Sejarah Geometri Bidang Euclid

            Euclid adalah seorang matematikawan yang berasal dari Yunani. Beliau sangat terkenal lewat penemuan-penemuannya di bidang geometri dan  dikumpulkan dalam karyanya yang berjudul “the element”. Euclid ini adalah salah satu murid dari akademi Plato di Athena. Euclid lahir sekitar tahun 330 SM dan meninggal sekitar 260 SM. Tahun tersebut hanya perkiraan karena tidak adanya  sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan bahwa Euclid hidup antara tahun 330 – 275 SM. Tidak ada catatan tentang tempat dan tanggal kelahiran Euclid secara pasti, serta sedikit yang diketahui tentang kehidupan pribadinya. Namun pada masa pemerintahan Ptolemy I, Euclid mengajar matematika di Alexandria, Mesir.

            Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik.

Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang komprehensif.

Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif “Euclid” tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada geometri lain dapat dibayangkan.

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini yang paling utama adalah pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya.

Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Dia pun menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.

Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh daripada risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku kesohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.

Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan dengan rumus Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya.

Pada kedekatan sekitar “Lubang hitam” dan bintang neutron misalnya di mana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.

Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes. Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid. Selanjutnya jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian.

Euclid banyak menulis buku, diantaranya yang terkenal dan masih tersimpan, antara lain:

a.                   The Elements, pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri.

b.                  The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait dengan jilid ke-4 buku The Elements.

c.                   On Divisions of Figures, menyangkut pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau dengan rasio tertentu.

d.                  Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin cekung.

e.                   Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola.

f.                   Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di bawah sudut yang lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang sama adalah sama.

Kelemahan-kelemahan dalam rumus Euclid kemudian dibenahi oleh beberapa ahli dan timbul beberapa versi revisi sistem Aksioma Euclide oleh Playfair dan Hilbert. Hilbert menemukan bahwa sejumlah asumsi Euclid telah gagal membuat pemecahan yang eksplisit.

Sebuah formulasi penuh dari aksioma yang diperlukan untuk pengembangan geometri Euclidean yang sekarang tersedia. Hal ini jauh lebih rumit, dan jauh lebih sedikit dimengerti, dibandingkan presentasi Euclid, dan kita harus bertanya pada diri sendiri apa sebenarnya apa yang dimaksud aksioma titik. Euclid berasumsi bahwa ia perlu untuk membuktikan teorema geometris. Sedangkan Hilbert membuat semua asumsi yang benar-benar eksplisit dan menghasilkan bukti yang sah secara berurutan. Presentasi Euclid dapat dipahami dan memiliki daya tarik intelekual yang besar sedangakan Hilbert sukar untuk dipahami kecuali untuk mereka yag sudah tahu tentang geometri. Hilbert menganggap telah melakukan pekerjaan yang tepat dan Euclid tidak dapat melakukan dengan sempurna. Hilbert bekerja dari sudut pandang formalis. Di luar logika formal, pendekatan aksiomatik Euclid lebih baik daripada Hilbert. Geometri Euclidean dibutuhkan untuk membedakan ciri khas geometri dengan yang lain.

 Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat ruang fizikal hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.

Pendekatan aksioman Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorem (“penyataan benar”) adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksiom):
1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.
2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.

3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari

dan satu lagi titik hujung sebagai pusat.

4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.
5. Postulat selari.

Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.
Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.

Geometri Euclid adalah pembelajaran geometri yang didasarkan pada definisi, teorema/aksioma (titik, garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari seorang matematikawan yunani (330 B.C) yakni Euclid.
Buku Euclid yang berjudul “Element” adalah buku pertama yang membahas tentang geometri secara sistemetis. Banyak penemuan-penemuan Euclid telah didahului oleh matematikawan Yunani, tatapi penemuan itu tidak terstruktur dengan rapi seperti yang dilakukan Euclid. Euclid membuat pola deduktif secara komprehensif untuk membentuk geometri. Pendekatan dari Euclid terdiri dari pembuktian semua teorema dari aksioma-aksiomanya.
Geometri Euclid mempelajari bidang datar.

Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah didefinisikan dalam bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri eliptik.

 Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-tiga.

Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik.
2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus.
3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya.
4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.
5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.

Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada satu dan hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong baris pertama, tidak peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang. Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat dibuktikan sebagai teorema, selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil lainnya. Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean.

Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 János Bolyai, dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama 28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan “garis tidak ada yang melewati titik” geometri maka elips atau bulat dijelaskan.Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan “minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik bahwa” maka geometri hiperbolik dijelaskan.

Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan geometri padat, yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat adalah bagian dari geometri dalam ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra, bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean geometri Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenis ruang. Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan dilambangkan sebagai R^n. Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n (lihat topologi). Contravariant dan jumlah kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean. R^1 adalah garis yang nyata, yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang unik pada baris. Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan dinotasikan R^2.

2.1.2 Struktur Geometri Bidang Euclid

          Asumsi atau postulat yang ada untuk geometri bidang Euclid adalah :

1.        Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.

2.        Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama.

3.        Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama.

4.        Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya.

5.        Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.

6.        Setiap sudut memiliki bisector.

7.        Setiap segmen memiliki titik tengah.

8.        Dua titik hanya berada pada satu satunya garis.

9.        Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan.

10.    Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui.

11.    Semua sudut siku – siku sama besar.

Dari postulat – postulat di atas dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah :

1.    Sudut bertolak belakang sama besar.

2.    Sifat kongruensi segitiga ( SAS, ASA, SSS )

3.    Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki dan konversinya

4.    Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut

5.    Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal

6.    Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikansebelumnya.

7.    Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.

Sekarang akan dibuktikan teorema sudut eksterior, sebagai cara menuju perkembangan lebih lanjut.

Teorema 1. Teorema sudut eksterior. Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior terpencil manapun.

                                                                            

Bukti. Misal ABC adalah segitiga sebarang dan misalkan D merupakan perpanjangan dari BC melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior m<ACD lebih besar dari m<A. misalkan E merupakan titik tengah AC, dan misalkan BE merupakan perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE = EC =BE = EF dan m<AEB = m<CEF ( sudut bertolak belakang sama besar ). Jadi ∆ AEB = ∆ CEF ( SAS ), dan m<BAE = m<FCE ( akibat segitiga kongruen ). Karena m<ACD > m<FCE ( keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya ), maka disimpulkan bahwa m<ACD > m<BAE = m<A.

8.    Untuk menunjukkan bahwa m<ACD > m<B, perluas AC melalui C hingga H, yang membentuk <BCH. Kemudian tunjukkan bahwa m<BCH > m<B, dengan

menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian: misalkan M merupakan titik tengah BC, perluas panjang AM melalui M, dan lain – lain. Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa <BCH dan <ACD merupakan sudut bertolak belakang sehingga sudut tersebut sama besar.

Pernyataan m<ACD > m<FCE bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah melakukan pembuktian beberapa hasil yang cukup penting.

Teorema 2. Jika dua garis dibagi oleh garis transversalsehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, maka garis tersebut sejajar.

Bukti. Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar jika garis tersebut tidak bertemu (berpotongan). Misalkan garis transversal membagi dua garis l, m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, <1 dan <2, yang sama besar, dan misalkan garis l dan garis m tidak sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang membentuk ∆ABC. C terletak pada satu sisi AB atau pada sisi yang lainnya. Untuk kasus lainnya, sudut eksterior ∆ ABC sama dengan sudut interior terpencil. ( misalkan, jika C pada sisi AB yang sama sebagai <2 maka sudut eksterior <1 sama dengan sudut interior terpencil <2 ). Hal ini kontradiksi dengan teorema sebelumnya. Oleh karena itu garis l dan garis m sejajar.

Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar.

Sebagai akibat langsung akibat 1 adalah

Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik eksternal.

Akibat 3. ( Eksistensi garis sejajar ). Jika titik P tidak berada pada garis l, maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.

                                                      

 

                                                                                                     

Bukti. Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan garis l menurut akibat 1.

Teorema 3. Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180^o.

Bukti. Misalkan ∆ ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa <A + <B < 180^o. perluas CB melalui B hingga ke D. maka <ABD merupakan sudut eksterior ∆ ABC. Dengan menggunakan teorema 1, <ABD >  <A, tetapi <ABD = 180^o - <B.dengan mensubstitusikan untuk <ABD pada relasi pertama, maka :

180^o - <B > <A, atau 180^o > <A + <B. Jadi, <A + <B < 180^o, dan teorema tersebut terbukti.

2.1.3  Pengganti Postulat Sejajar Euclid

Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini :

Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut.

Pernyatan ini disebut denga postulat Playfair. Postulat ini bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama. Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentan garis sejajar, dan pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis geometri. Dikatakan pernyataan ini ekivalen secara logis.

Hal ini berarti bahwa jika pernyataan pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema; dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan pertama dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua pernyataan mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan dideduksi sebagai suatu teorema.

2.1.4 Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair

            Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair. Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan dideduksi postulat Playfair.

            Diketahui garis l dan titik P tidak pada l (gambar 2.5), maka akan ditunjukkan bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis melalui P yang sejajar dengan l, dan diketahui juga bagaimana cara menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan garis tegak lurus pada l dengan kaki Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada PQ. Maka garis m sejajar garis l.

            Kemudian misalkan  garis n sebarang garis melalui P yang berbeda dengan garis m. maka akan ditunjukkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan <1, <2 menunjukkan sudut dimana garis n bertemu dengan PQ. Maka <1 bukan merupakan sudut siku – siku untuk sebaliknya garis n dan garis m berimpit, berlawanan dengan asumsi. Jadi <1 atau <2 adalah sudut lancip, misalnya <1 yang merupakan sudut lancip.

Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk sudut lancip <1 dan sudut siku – siku, yang merupakan sudut interior pada sisi yang sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut kurang dari 180^o, poatulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu – satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan garis l dan dideduksikan bahwa postulat Playfair dari postulat sejajar Euclid.

Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat sejajar Euclid

                                                                                                                  

Gambar 2.6

Misalkan garis m dibagi oleh garis transversal dititik Q, P yang membentuk <1 dan <2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang memiliki jumlah sudut kurang dari 180^o ( gambar 2.6 ), adalah :

(1)                                                 <1 +  <2 < 180^o

Misalkan  <3 menunjukkan tambahan <1 yang terletak pada sisi berlawanan PQ dari <1 dan <2 ( gambar 2.6 ), maka :

(2)                        <1 + <3 = 180^o

Dari hubungan (1), (2) maka :

(3)                        <2 < <3

Pada titik P, bentuk <QPR yang sama dengan dan yang interior dalam berseberangan dengan <3. Maka <2 < <PQR, sehingga RP berbeda dari garis m. menurut teorema 2, RP sejajar dengan l. Karenanya menurut postulat Playfair, m tidak sejajar dengan l. Oleh karena itu, garis m dan l bertemu.

            Seandainya garis-garis tersebut bertemu di sisi berlawanan dari PQ dari <1 dan <2, katakanlah di titik E maka <2 merupakan sudut eksterior ΔPQE, karenanya <2 > <3 , berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis m dan l bertemu pada sisi garis transversal PQ yang memuat <1 dan <2. Jadi postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan akibatnya dua postulat tersebut menjadi ekivalen.

2.1.5 Peran Postulat Sejajar Euclid

            Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid (atau postulat Playfair), berikut ini merupakan beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan :

1. jika dua garis sejajar dibagi oleh garis transversal, sebarang pasangan sudut interior dalam berseberangan yang terbentuk akan sama besar.
2. jumlah sudut sebarang segitiga adalah 180°.
3. sisi bertolak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar.
4. garis sejajar selalu berjarak sama.
5. eksistensi segi empat dan bujur sangkar.
6. teori luas menggunakan unit persegi.
7. teori segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui.

Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal itu.

Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut. Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti. Sekarang kita diskusikan tiga percobaan tersebut dalam “menyelesaikan permasalahan” postulat sejajar Euclid.

2.1.6 Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid

            Prolus (410-485) memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid yang kita ringkas sebagai berikut :

            Kita asumsikan postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar, dan dduksi postulat Playfair. Misalkan P merupakan titik tidak berada pada garis l (gb 2.7). kita bentuk garis m melalui P sejajar dengan garis l dengan cara yang biasa digunakan. Misalkan PQ tegak lurus dengan l di Q, dan misalkan m tegak lurus

dengan PQ di P. Sekarang, anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah pada sisi kanan PQ. Bagian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah yang dibatasi oleh garis l, m dan PQ. Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan XY tegak lurus dengan l di Y dan misalkan garis XY tersebut bertemu dengan garis n di Z. Maka XY > XZ. Misalkan X mundur di garis m, maka XZ meningkat secara tidak menentu, karena XZ setidaknya sama besarnya dengan segmen dari X yang tegak lurus dengan n. Jadi XY juga meningkat secara tidak menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar harus terbatas. Oleh karena itu, akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah. Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan garis l. Karenanya, postulat Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

                                                                 

           

Kita tidak mengharapkan maksud yang lebih mengesankan tentang variasi yang bisa muncul dalam argumen di bidang geometri dasar yang disampaikan oleh ahli matematika abad 15. sekarang marilah kita uji. Argumen tersebut mencakup 3 asumsi :

1. jika dua garis saling berpotongan, jarak pada suatu garis dari satu titik ke garis lainnya akan meningkat secara tak menentu, karena titik tersebut mundur (menyusut) tak berujung.
2. segmen terpendek yang menghubungkan titik eksternal pada suatu garis merupakan segmen yang tegak lurus.
3. jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas.

(a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan postulat sejajar Euclid. Jadi inti persoalan pembuktian adalah asumsi (c). Proclus mengasumsikan (c) sebagai postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai postulat asumsi Proclus tersembunyi. Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus ekivalen dengan postulat sejajar Proclus. Seperti yang dijelaskan pada hasil 4 sub bab 4, postulat sejajar Euclid mengimplikasikanbahwa jarak antara garis sejajar selalu konstan, dan terbatas. Konversinya, melalui argumen Proclus dapat dinyatakan bahwa postulat Proclus mengimplikasikan postulat sejajar Euclid.

Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar dengan postulat yang ekivalen, dan bukan menetapkan validitas postulat sejajar tersebut.

2.1.7 Solusi Wallis atas Permasalahan yang ada

            John Wallis (1616-1703) menggantikan postulat sejajar Euclid dengan menggunakan postulat berikut ini :

Ada segitiga dengan satu sisi yang telah ditetapkan sebelumnya secara sebarang yang akan sama dengan segitiga yang diketahui

                                                                 

 

           

Dari sini postulat Playfair dapat dideduksi sebagai berikut :

            Misalkan P merupakan titik yang tidak terletak pada garis l. Dari P, hilangkan PQ yang tegak lurus dengan l, yang bertemu l di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus dengan PQ (gb 2.8). Misalkan n adalah sebarang garis selain m yang memuat P. Kita tunjukkan bahwa n bertemu l. Misalkan R sebarang titik pada n di daerah antara l dan m. Dari R, hilangkan garis RS yang tegak lurus dengan garis PQ, sehingga bertemu dengan PQ di S. Sekarang, dengan menggunakan postulat Wallis, tentukan segitiga PQT sedemikian sehingga ΔPQT sama dengan ΔPSR dan T berada pada sisi yang sama dari PQ sebagai R. Kemudian m<TPQ = m<RPS, dan PR dan PT bertemu. Jadi T berada pada n. Selanjutnya m<PQT = m<PSR, sehingga  <PQT merupakan sudut siku-siku. Karena l tegak lurus dengan PQ di Q, maka T berada pada l, sehingga n bertemu l di T, dan hanya ada satu garis yang memuat P yang sejajar dengan l.

            Jadi jelas bahwa postulat Wallis mengimplikasikan postulat sejajar Euclid. Seperti yang telah dibahas di hasil 7 sub bab 4, konversi dari pernyataan tersebut akan berlaku. Jadi, postulat Wallis secara logis, ekivalen dengan postulat

Euclid. Wallis merasakan bahwa postulatnya sudah pasti, dan telah menangani permasalahan postulat sejajar cukup lama.

            Apakah postulat Wallis lebih jelas atau lebih sederhana daripada postulat Euclid? Sebenarnya, postulatnya menyatakan bahwa jika ΔABC dan segmen PQ diberikan dalam gambar 2.9, akan ada titik R sedemikian sehingga ΔPQR sama dengan ΔABC. Bagaimana kita peroleh titik R? pada sisi PQ yang diketahui, kita dapat membentuk m<QPS = m<A dan  m<PQT= m<B. Lalu R akan muncul sebagai perpotongan garis PS dan QT. Akibatnya, postulat Wallis mengimplikasikan bahwa PS dan QT harus bertemu. Perhatikan bahwa <A + <B < 180° menurut teorema 3, sehingga <P + <Q < 180°. Jadi postulat Wllis menyatakan bahwa dalam kasus tertentu, jika dua garis bertemu dengan garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut pada satu sisi garis transversal yang jumlah sudutnya kurang dari 180°, maka dua garis tersebut haruslah bertemu. Hal ini sangat serupa dengan postulat sejajar Euclid. Tetapi postulat Wallis menyatakan hal yang lebih lengkap, karena postulat tersebut memerlukan m<R = m<C dan proporsionalitas sisi dua segitiga tersebut. Tampaknya, postulat Wallis lebih pasti daripada postulat Euclid, dan tidak rumit.

2.1.8 Percobaan Saccheri untuk Memperthankan Postulat Euclid

            Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembukatian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung.

            Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10). Saccheri membuktikan bahwa m<C = m<D dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :

1. hipotesis tentang sudut siku-siku ( <C = <D = 90°)
2. hipotesis tentang sudut tumpul ( <C = <D > 90°)
3. hipotesis tentang sudut lancip ( <C = <D < 90°)

                                                                                         

Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku akan terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut sebarang segi empat adalah 360°). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut:

            Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

            Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi.

            Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut:

                        Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.

Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi:

1. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan.
2. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut.
3. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya.

Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggapsebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid.

2.2 Lima Aksonia

Program Plato itu belum sempurna. Euclid sebagai salah satu murid dari akademi Plato di Athena memperbarui bersama dengan Eudoxus dan menghasilkan lima aksioma atau postulat khusus yang dalam bahasa Yunani (aitemata) yang artinya (koinai ennoiai), misalnya jika a sama dengan b, dan b sama dengan c, maka a sama dengan c. Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:

a.                   Untuk menggambar sebuah garis lurus dari setiap titik ke titik yang lain

b.                  Untuk mengahsilkan sebuah garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga

dalam garis lurus.

c.                   Untuk menggambarkan sebuah lingkaran dengan pusat lingkaaran dan diameter.

d.                  Semua sudut siku-siku itu kongruen.

e.                   Jika garis lurus memotong pada dua garis lurus membentuk sudut dalam pada sisiyang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua baris lurus, jika dibuat tanpa batas waktu dan bertemu maka sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku tersebut.

Ada beberapa pendapat yang menyatakan tentang aksioma yang dituliskan oleh Euclid baik dalam zaman kuno maupun pada zaman modern dengan harapan bahwa aksioma tersebut menjadi lebih jelas dan benar. Pendapat tersebut antara lain:

a.                   Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis

saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan (Playfair)

b.                  Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku.

c.                   Pendapat lain yang mungkin sama untuk memberikan pendapat dan apapun

ukurannya terserah (Wallis).

d.                  Ada dua segitiga yang tidak sama dan memiliki sudut yang sama(Saccheri dan

Plato)

e.                   Dalam segitiga siku-siku, sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang

lainnya. (Phytagoras).

Pendapat Playfair mendekati Euclid dan dianggap sebagai versi modern
yang secara eksplisit menyebutkan garis paralel dan disebut sebagai  "dalil paralel". Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut yang siku-siku. Jauh lebih signifikan adalah aksioma tentang segitiga yang diajukan dalam bentuk yang lebih kuat oleh John Wallis, seorang don Oxford dari abad ketujuh belas dan Geralamo Saccheri, seorang imam Yesuit pada abad kedelapan belas. Menurut Wallis aksioma (3) dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.

Argumen lain, dalam gambar 2.2.2 menunjukkan bahwa 'Teorema Pythagoras” mudah dibuktikan dengan cara segitiga serupa. Kita mungkin bertanya dengan bukti Euclid 's "windmill" dari proposisi-nya mengapa Euclid disukai banyak bukti nya lebih rumit. Jawabannya terletak pada asumsi terakhir dalam bukti yang diberikan di gambar 2.2.2, dan akibat adanya kesulitan besaran tidak dapat dibandingkan, sendiri didirikan sebagai konsekuensi dari teorema Pythagoras. Pendapat Meno menunjukkan bahwa diagonal dari persegi memiliki panjang  dari sisi. Tapi, seperti Pythagoras atau salah seorang pengikutnya tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua seluruh angka, dan pendekatan segitiga yang serupa, yang mengatakan bahwa: “rasio dari sisi dalam segitiga yang sama adalah sama”.

Gambar 2.2.1 Bukti Segitiga  dari Wallis: Misalkan ABC segitiga. Misalkan segitiga AFE = segitiga ABC dan setengah ukurannya. Maka:

Jadi, AF = FC dan AE = EB.

Misalkan BD = DC, maka EF = BD = DC

Kemudian segitiga ΔFED ΔABC, dimana ED = AC = AF. Jadi dalam ΔEFD dan ΔBDE, EF = BD, DF = BE, dan ED berimpitan.  Jadi ΔEFD = ΔBDE, dan DEF = EDB. Tapi BCA = EFA dan CAB = CFD, [Dan ABC = DFE]. Jadi ABC + BCA + CAB = 180 °.

Kemudian  Euclid dalam teorinya tentang proporsi yang diantisipasi Dedekind tentang  definisi dari  bilangan real, namun dalam eksposisi geometrisnya disukai secara teknis walaupun lebih rumit tetapi secara konseptual kurang. Pendekatan yang tidak bersangkutan dengan segitiga sama sama sekali.
Sebuah pendapat di Gorgias menunjukkan bahwa Plato berpikir
tentang segitiga yang sama pada waktu ia sedang berusaha untuk membangun
dasar geometri. Dalam Gorgias 508a5-7 ia membedakan "Geometris" dari "aritmatika" yang pertama hanya proporsional, sedangkan yang kedua adalah kesetaraan yang ketat. Aristoteles mengambil perbedaan dalam Nicomachean Ethics-nya, dalam bukunya Politik  dan membuat dasar tafsir kesamaan distributif.

Gambar 2.2.2 Bukti Pythagoras dengan Segitiga yang sama: Misalkan:
ΔABC dengan sudut siku-siku di B. Gambarkan garis tegak lurus dari B keAC di D. Lalu ΔADBΔABC dan ΔBDCΔABC. 

.

Jadi (AD + DC).AC = AB² + BC². Jadi AC² = AB² + BC². [Kami
mengasumsikan bahwa sudut  Δ berjumlah 180°, dan AD/AB dan Δ yang lainnya juga sama].

Plato dan Aristoteles melihat bahwa ada universalitas
tentang konsep kesamaan, dan kesamaan yang mengharuskan kami
memperlakukan sama. Plato berpendapat, diperlukan perlakuan yang sama seperti pada kasus yang sama, tetapi diberi perlakuan berbeda pada kasus berbeda. "Geometris kesetaraan " dicetuskan oleh Plato dan Aristoteles untuk mendasari
prinsip bahwa harus ada kesamaan perlakuan untuk semua dengan perbedaan perlakuan aktual pada  keadaan yang berbeda. Setiap orang harus diberi bagian yang sama, kata Aristoteles, tetapi mereka adalah bagian yang sama sebanding dengan (Axia) jasa mereka, dan tergantung pada keadaan. Ini berbeda dengan pendapat egalitarian fifthcentury Athena, dan memiliki konsekuensi penting bagi politik berpikir di dunia kuno.

Bukti Teorema Pythagoras 'adalah puncak dari Euclid's buku pertama, dan telah menunjukkan bagaimana hal itu dapat dibuktikan tidak hanya dari kelima postulat Euclid sendiri melainkan dari proposisi Wallis ' tentang segitiga serupa. Itu wajar untuk bertanya apakah pada gilirannya dapat dibuktikan dari teorema Pythagoras 'diambil sebagai kebenaran. Hal ini paling mudah untuk menunjukkan aksioma Saccheri’s (d), bahwa diberikan Proposisi Pythagoras, harus ada dua segitiga yang sama bentuk tetapi ukuran yang berbeda.

Gambar 2.2.3 Bukti Saccheri dari Pythagoras:

Misalkan ABC adalah sudut siku-suku di B, misalkan BA = CB. Perpanjang CB hingga D, sehingga BD = CB.

Kemudian ΔABC = ΔABD; sehingga AD = AC dan BDA = BCA,  dan ΔABC = ΔDBA,  BAC = BAD.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras:

Jadi CAD adalah sudut siku-siku, dan ABCCAD.

Ini hanya sedikit lebih rumit dan diserahkan kepada pembaca-
untuk memberikan prosedur untuk membangun sebuah segitiga ukuran sewenang-wenang mirip dengan segitiga yang diketahui. Kenyataan bahwa proposisi Pythagoras, bukannya diambil sebagai Teorema harus dibuktikan dari aksioma Euclid's, dengan menggunakan aksioma karakteristik geometri yang menunjukkan bahwa kita dapat mengubah nama geometri Euclidean "Pythagoras geometri". Meskipun Euclid, bersama dengan Plato dan Eudoxus, bertanggung jawab secara sistematis sebagai teori aksiomatik, kita perlu memandang proposisi Pythagoras dari beberapa sudut pandang yang paling khas dan mendasar.

Formulasi alternatif yang mendalilkan kelima ppostulat Euclid kurang praktis dan mungkin lebih diterima versi Euclid sendiri.  Tentu Teorema Pythagoras 'masih jauh dari benar, sehingga harus dibuktikan. Bahkan, tidak ada
dari formulasi alternatif yang benar-benar jelas, dan tampaknya membutuhkan beberapa pembenaran lebih lanjut. Wallis dan Saccheri sedang mencari penyelesaian yang lebih baik, Saccheri mengabiskan bertahun-tahun untuk mencoba membuktikan kelima postulat dengan mereduksi dan penyerapan, asumsi itu menjadi salah dan mencoba mendapatkan kontradiksi. Usaha ini gagal, tetapi dalam perjalanannya menemukan non-Euclidean geometri. Teorema geometri non-Euclidean membawa mereka ke Saccheri yang lebih masuk akal, meskipun ia tidak bisa memperoleh sebuah inkonsistensi yang formal, tetapi meskipun aneh, mereka benar-benar cukup konsisten, dan kemudian diakui menjadi teorema non-Euclidean geometri,yang akan disebut sebagai geometri "hiperbola”.

2.3 GEOMETRI NON-EUCLIDEAN

Sekitar tahun 1830 (Abad ke Sembilan Belas), matematikawan Hongaria, János Bolyai dan matematikawan Rusia, Nikolai Lobachevsky secara terpisah menerbitkan risalah tentang geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja.

Jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Selanjutnya Playfair membuat postulat "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."

Postulat sejajar Riemann : “Tidak ada garis yang sejajar”. Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah “tunggal” dan “rangkap” mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah “eliptik” digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif di mana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik).

John Wallis (1616-1703) menggantikan postulat sejajar Euclid dengan menggunakan postulat berikut ini : “Ada segitiga dengan satu sisi yang telah ditetapkan sebelumnya secara sebarang yang akan sama dengan segitiga yang diketahui.”

Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung. Argumen dasar Saccheri sebagai berikut:

            “Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid”.

            Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi. Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut:

“Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°”.

Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi:

a.                   l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen

dari titik perpotongan.

b.                  l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di

mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus

yang sama tersebut.

c.                   l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama,

di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan

divergen pada arah lainnya.

Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid.

Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuaiani kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa ilmu alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).

Non-Euclidean geometri yang cukup asing, sampai ketika Saccheri memperkenalkan kepada kita. Hal ini paling mudah untuk memvisualisasikan non-Euclidean geometri eliptik dengan mempertimbangkan beberapa permukaan bola, seperti bumi atau dari buah jeruk. Sangat mudah kemudian untuk melihat bahwa jika lingkaran besar diambil untuk menjadi "garis", tidak ada garis paralel dalam eliptik geometri. Setiap dua lingkaran besar bertemu dua kali, sebagai meridian bujur yang bertemu di kedua Kutub Utara dan di Kutub Selatan. (Yang disebut "paralel dari lintang "adalah tidak semuanya paralel, karena mereka tidak di dalam interpretasi garis lurus, melainkan lingkaran) Jika kita pertimbangkan. suatu oktan jeruk, atau segitiga bola di bumi permukaan ditandai dengan meridian Greenwich, Khatulistiwa, dan bujur 90° Barat, kita melihat bahwa ia memiliki sudut kanan pada masing masing titik, sehingga jumlah sudut yang menambahkan sampai tiga sudut kanan, 270°, bukan hanya dua sudut siku-siku berjumlah total 180°. Sebuah segitiga kecil akan memiliki jumlah sudut yang lebih dekat ke 180°, yang akan cenderung sebagai segitiga semakin kecil dan lebih kecil. Memang, jika kita tahu seberapa besar sudut, kita dapat mengatakan keharusan dua belah pihak, yang beberapa berbentuk segitiga dengan masing-masing sudut 90 ° mereka adalah adalah salah satu seperempat dari keliling lingkaran besar. Ini menggambarkan tesis Wallis-Saccheri bahwa tidak ada yang sama segitiga ukuran yang berbeda dalam geometri non-Euclidean.

Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10). Saccheri membuktikan bahwa m<C = m<D dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :

1. Hipotesis tentang sudut siku-siku ( <C = <D = 90°)
2. Hipotesis tentang sudut tumpul ( <C = <D > 90°)
3. Hipotesis tentang sudut lancip ( <C = <D < 90°)

Hal ini mudah dilihat dalam kasus oktan bahwa Pythagoras proposisi
jauh dari benar, karena dalam kasus bahwa. Dengan cara yang sama keliling lingkaran digambar pada permukaan bola adalah kurang dari. Jika kita mengambil sebagai pusat Kutub Utara dan memiliki radius satu seperempat lingkaran besar, kita harus menarik Khatulistiwa yang panjangnya tidak (lingkaran besar)) artinya rasio lingkar ke jari-jari lingkaran ini tidak tapi 4. Permukaan bola merupakan kelengkungan positif: jika kita mempertimbangkan dua pesawat saling ortogonal berpotongan sepanjang garis yang tegak lurus itu sendiri ke permukaan, setiap pesawat memotong permukaan dalam kurva yang cekung sisi. Para Konseptual Matematika mendefinisikan lengkungan permukaan adalah positif pada sisi cekung.Adalah jauh lebih sulit untuk membayangkan permukaan dengan negatif
kelengkungan. Permukaan pelana, atau melewati gunung, adalah sebuah contoh.

           Pada seperti permukaan keliling lingkaran adalah lebih dari 2 kali jari-jari, dan sejalan akar itu di sisi miring lebih besar dari jumlah kuadrat pada dua sisi lainnya. Hal ini kurang mudah untuk melihat bahwa jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180°, tetapi jika kita mempertimbangkan bagaimana sebuah perbedaan yang sangat kecil saat seseorang melewati gunung dapat menyebabkan tujuan luas yang terpisah, kita dapat menerima bahwa segitiga bisa memiliki sudut yang menambahkan sampai kurang dari 180°.

Jika kita mengambil fitur ini, hal itu adalah area minimum segitiga. Ini sekali lagi menunjukkan bagaimana postulat Wallis-Saccheri gagal untuk menunjukkan non-Euclidean geometri. Hal ini juga menarik perhatian fitur lain yang berkaitan dengan non-Euclidean geometri. Kedua geometri  hiperbolik dan eliptik memiliki "alami unit "; dalam geometri hiperbolik ada daerah minimum segitiga, dan dalam geometri eliptik ada panjang maksimum garis. (Inilah sebabnya mengapa untuk geometri eliptik kita perlu mengubah tidak hanya mendalilkan kelima Euclid tetapi juga yang kedua, yang mengambil untuk menunujukkan bahwa sebuah garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas jauh.)

Non-Euclidean geometri tetap asing. Kita bisa membawa diri kita sendiri
untuk memiliki beberapa pemahaman dari mereka dan untuk memvisualisasikan mereka untuk batas tertentu, tetapi mereka memiliki fitur yang tidak terbiasa dan mungkin tetap tidak disukai bahkan setelah lama dikenal, tapi
bukan untuk mengatakan bahwa mereka tidak konsisten. Dan sebenarnya non-Euclidean geometri sangat konsisten.

Sangat mudah untuk mengatakan bahwa geometri adalah konsisten, sulit untuk menunjukkan hal itu. Saccheri telah menyimpulkan bahwa sistem ia menyelidiki begitu masuk akal untuk tidak konsisten, dan ada pembuktian bahwa dia salah? Pada akhirnya Felix Klein tidak membuktikan bahwa dia salah, dengan cara sebuah "bukti konsistensi relatif" yang sangat penting dalam dasar matematika. Klein menghasilkan model geometri hiperbolik dalam geometri Euclidean. Dia dianggap sebagai bagian dari pengikut Euclidean interior Dia kemudian berpendapat bahwa jika ada inkonsistensi yang sesuai pada bidang Euclidean, dan geometri Euclidean akan menjadi tidak konsisten juga. Jadi, geometri hiperbolik itu relatif konsisten untuk Euclidean geometri.

Klein’s mengatakan membuktikan sendiri adalah rumit. Kita dapat menghargai argumennya jika kita menganggap bukan bukti konsistensi relatif dengan cara model baru saja diberikan. Aksioma dua dimensi geometri eliptik pada permukaan bola, dengan poin dalam geometri eliptik yang diwakili oleh titik-titik pada permukaan bola, dan garis dalam geometri eliptik diwakili
oleh lingkaran besar pada permukaan bola. Jika aksioma
geometri elips tidak konsisten, maka kita bisa menghasilkan sebuah bukti urutan, seperti ditunjukkan pada Tabel 2.3.3, di mana setiap baris (diwakili
di sisi kiri tabel) adalah rumus yang terbentuk dari geometri berbentuk bulat panjang, dan aksioma dari satu atau lebih baris sebelumnya oleh beberapa aturan inferensi, dan baris terakhir adalah dari bentuk.

 Tapi sekarang mempertimbangkan bukti urutan bukan sebagai urutan formal, formula tentang titik dan garis dalam geometri eliptik, tetapi formula baik terbentuk sekitar poin
dan besar lingkaran dalam sub ruang dua dimensi atau tiga dimensi
Euclidean geometri. Apa aksioma bawah interpretasi elips sekarang
proposisi benar dan dapat dibuktikan dari aksioma tiga dimensi. Oleh karena itu kita bisa mengisi kami bukti-urutan untuk membuktikan ini dari aksioma
tiga dimensi geometri Euclidean.                         

Non-Euclidean geometri demikian dibenarkan pada skor
konsistensi. Dan tidak adanya inkonsistensi yang pasti dari matematikawan telah sulit sekali untuk membenarkan alasan mereka pada setiap alasan lainnya.Munculnya aliran non-Euclidian menyebabkan perubahan besar dalam konsep geometri. Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsep geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal.

Jenis tradisional geometri telah dikenal seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama. Selain munculnya aliran non-Euclidian yang menarik perhatian seluruh matematikawan di berbagai belahan dunia. Pada era ini muncul pula karya-karya baru yang menjadi dasar dari matematika modern, salah satunya adalah teori himpunan.

2.4 Sebangunan dan Kongruen

Pengertian kesebangunan dan kongruen

Dua bangun datar atau lebih dengan perbandingan panjang sisi yang senilai dan sudut yang bersesuaian maka bangun datar tersebut sebangun . Jika dua atau lebih bangun datar mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dan mempunyai sudut yang bersesuaian sama besar maka bangun datar tersebut kongruen.

Kesebangunan dan kekongruenan biasanya digunakan untuk membandingkan dua buah bangun datar (atau lebih) dengan bentuk yang sama. dua buah bangun datar dapat dikatakan sebangun apabila panjang setiap sisi pada kedua bangun datar tersebut memiliki nilai perbandingan yang sama. sedangkan kongruen memiliki konsep yang lebih mendetail, apabila dua buah (atau lebih) bangun datar memiliki bentuk, ukuran, serta besar sudut yang sama barulah mereka dapat disebut sebagai bangun datar yang kongruen. Perhatikan gambar berikut:

2.4.1 Pengertian Kesebangunan

            Kesebangunan yaitu bangun-bangun yang memiliki bentuk yang sama dengan ukuran yang sama atau berbeda. Secara umum dua buah bangun datar dikatakan sebangun (similar) jika sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Kesebangunan adalah kesamaan perbandingan panjang sisi dan besar sudut antara dua buah bangun datar atau lebih. Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.

1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.

2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.

Salah satu syarat kesebangunan adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sama besar adalah ukuran sudutnya sebanding, Dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

           

2.4.2 Pengertian Kongruen

       Bangun-bangun geometri dikatakan kongruen (sama sebangun) jika dan hanya jika bangun-bangun itu mempunyai ukuran dan bentuk yang sama. Jadi bisa diingat betul bahwa kongruen adalah bentuknya sama dan ukurannya sama. Jika tidak memenuhi salah satu saja, maka bangun tersebut tidak kongruen.

Dua bangun dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama.

Syarat kekongruenan
a).Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
b).Panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama dua bangun yang kongruen pasti sebangun. tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen

Kekongruenan pada segitiga
a).sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)
b).Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)
c).Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada diantarannya sama panjang (sd.s.sd)
d).Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s)

2.4.3 Kesebangunan Segitiga

1.    Pengertian Segitiga yang Sebangun

Pada gambar di bawah tampak dua segitiga, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut adalah sebagai berikut: 

Dengan demikian, diperoleh : 

Sudut-sudut yang bersesuain yaitu

ﮮ A = ﮮ D,

ﮮ B = ﮮ E, dan

ﮮ C = ﮮ F.

Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.

Jadi, kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai dan sama besar.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :

a.         Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.

b.        Dua pasang sudut yang bersesuaian yang sama besar.

2.    Syarat Dua Segitiga Sebangun

a.    Sudut-Sudut yang Bersesuaian

Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama besar, maka sisi-sisi yang  bersesuaian adalah sebanding.

Jadi, jika sudut-sudut yang besesuaian pada dua buah segitiga sama besar, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.

b.    Sisi-Sisi yang Bersesuaian

Jika sisi-sisi yang bersesuain pada dua buah segitiga sebanding atau memiliki perbandingan yang sama, maka sudut-sudut yang besesuaian sama besar.Jadi, bila sisi-sisi yang bersesuaian pada dua buah segitiga sebanding, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.

Perhatikan gambar  dibawah ini:

Dua segitiga diatas saling sebangun, sehingga

∠ A = ∠ P

∠ B = ∠ Q

∠ C = ∠ R

AB/PQ, BC/QR, AC/PR

Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar, maka ∆ ABC dan ∆ PQR sebangun.

3.    Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

Dalam segitiga siku-siku terdapat kesebangunan khusus. Perhatikan gambar di samping. Pada segitiga siku-siku di bawah ini.

a. AD² = BD x CD;

b. AB² = BD x BC;

c. AC² = CD x CB.

Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Tentukan

a. AC;

b. AD;

c. BD.

Jawab:

a.       AC² = AB²+BC²

          = 6² + 8

          = 36+64

          = 100 è AC = √100 = 10

b.      AB² = AD x AC

6² = AD x 10

36 = AD x l0

AD = ³⁶/₁₀

= 3,6 cm

  

c. BD² = AD x DC

       = 3,6 x 6,4

       = 23,04

BD = √23,04 è 4,8 cm

4.    Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun Konsep kesebangunan dua segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui. Coba perhatikan contoh berikut!

Contoh :

Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?

Jawab:

D.  Kongruensi Segitiaga

1.    Pengertian Segitiga yang Kongruen

Segitiga yang kongruen adalah segitiga yang bentuknya sama dan ukurannya sama. Segitiga kongruen memang harus mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Tetapi karena segitiga merupakan bangun yang istimewa, maka segitiga ini mempunyai beberapa hal penting mengenai kongruen. Jadi, kita tidak perlu mencari ketiga panjang sisinya dan mencari 3 besar sudutnya.

                                    

2.    Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar di atas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi satu sama lain.

Gambar di atas menunjukkan ∆PQT dan ∆QRS kongruen. Perhatikan panjang sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮTPQ =  ﮮSQR,ﮮPQT = ﮮ QRS, dan ﮮPTQ = ﮮQSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama besar.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut.

·         Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

·         Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

3.    Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua segitiga dikatakan kongruen jika dipenuhi salah satu dari tiga syarat berikut.

a.    Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi).

Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama.

Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu ﮮ A= ﮮ D, ﮮ B= ﮮ E,dan ﮮ C= ﮮ F.

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.

b.    Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).

Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮ CAB = ﮮEDF. Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka akan tepat berimpit sehingga diperoleh :

Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮ E, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.

c.    Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).

Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮ A = ﮮ D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai perbandingan yang senilai.

4.    Perbandingan Sisi-sisi Dua Segitiga Kongruen

Jika dua buah segitiga kongruen, maka sisi-sisi yang berada di depan sudut yang sama besar mempunyai panjang sama. Perbandingan sisi-sisi segitiga pertama sama dengan perbandingan sisi-sisi segitiga yang kedua.

2.5.1 Segitiga

2.5.2 Pengrtian segitiga

   Diberikan tiga buah titik A, B dan C yang tidak segaris. Titik A dihubungkan dengan B, titik B dihubungkan dengan titik C, dan titik C dihubungkan dengan titik A. Bangun yang terbentuk disebut segitiga.

                              

                    

gambar : segitiga tersebut merupakan segitiga ABC.

Perhatikan sisi-sisi segitiga diatas. Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC.

Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.

Sudut A atau sudut BAC atau sudut CAB.

Sudut B atau Sudut ABC atau Sudut CBA.

Sudut C atau Sudut ACB atau Sudut BCA.

Segitiga merupakan bangun datar yang mempunyai tiga sisi.  Pada ∆ ABC di atas AB, BC dab AC disebut sisi segitiga ABC. Ketiga sisi segitiga saling berpotongan dan membentuk sudut. Titik A, B, C disebut titik sudut.

sudut A atau sudut  ABC, sudut  B atau sudut  ABC dan sudut C atau sudut ABC

Segitiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh 3 buah garis saling bertemu dan membentuk 3 buah titik sudut. Segitiga adalah suatu bangun datar yang jumlah sudutnya 1800 dan dibentuk dengan cara menghubungkan tiga buah titik yang tidak segaris dalam satu bidang. Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆. Jumlah sudut pada segitiga besarnya 180⁰. Sebuah segitiga memiliki tiga titik sudut, tiga sisi dan tiga sudut.

Segtiga ialah sebuah bangun terjadi kalau tiga buah titik yang tidak terletak pada sebuah garis lurus dihubungkan-hubungkan. Segitiga adalah bangun datar tiga dimensi yang dibuat dari tiga buah sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.

2.5.2 Garis-garis Istimewa dan Jenis-jenis Segitiga

2.5.2.1 Garis Istimewa dalam Segitiga

           

1.    Garis tinggi = garis tegak lurus yang ditarik dari sebuah titik sudut kesisi depannya.

T_a ialah garis tinggi dari titik sudut A kesisi a.

2.      Garis bagi (bisektris) = garis yang membagi dua sama besar sebuah sudut segitiga d_aialah garis bagi   sudut   A. Garis  sudut luar sebuah segitiga dinamakan  garis bagi luar. Sebagai lawan dari garis bagi luar ini, garis bagi sudut dalam dinamakan juga garis bagi dalam.

3.      Garis berat (median) = garis dari sebuah titik sudut ketitik tengah sisi depannya. m_aialah garis berat dari titik sudut A ke sisi a.

Huruf huruf kecil a,b,dan c letaknya tidak setinggi huruf huruf  t , d ,dan m

Huruf huruf itu letaknya lebih rendah

Huruf huruf itu dinamakan orang penunjuk umpama t_{a ,} d_a, m_c.

4.      Garis sumbu = Garis tegak lurus ditengah , ialah suatub garis yang membagi dua sama panjang sebuah sisi dan tegak lurus kepada sisi itu.

Garis yang kedua dan yang terakhir dapat juga dibentuk, meskipun segitiganya tidak ada.

2.5.2.2 Jenis-jenis Segitiga

            Segitiga dibedakan atas 2 bagian, yaitu:

1.      Menurut panjang sisinya:

a.     Segitiga sama sisi

 

Mempunyai 3 sisi sama panjang. Mempunyai 3 sudut sama besar yaitu 60⁰. Mempunyai 3 simetri lipat. Mempunyai 3 simetri putar.

b.    Segitiga Samakaki

 

Mempunyai 2 sisi yang berhadapan sama panjang. Mempunyai 1 simetri lipat. Mempunyai 1 simetri putar. Dalam segitiga samakaki sama besar. Kalau 2 buah sudut sebuah segitiga sama, maka segitiga itu samakaki. Dalam segitiga samakaki garis tinggi, garis berat dan garis bagi dari puncak berimpitan. Garis penghubung puncak dua buah segitiga samakaki, yang garis dasarnya berimpit sluruhnya, berdiri tegak lurus kepada garis dasar, membagi dua sama panjang garis dasar itu dan membagi dua sama besar pula kedua sudut puncak kedua segitiga.

c.      Segitiga sembarang

 

Mempunyai 3 sisi yang tidak sama panjang. Tidak memiliki simetri lipat. Tidak memiliki simetri putar.

2.    Menurut besar sudutnya:

      

a.      Segitiga lancip

 

Segitiga yang besar semua sudut < 90^o.

b.      Segitiga tumpul

 

Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu > 90⁰.

c.       Segitiga Siku-Siku

Segitiga Siku-Siku Adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya sama dengan 90^o. Sisi di depan sudut 90^o disebut hipotenusa atau sisi miring.            

Mempunyai 2 sisi yang saling tegak lurus. Mempunyai 1 sisi miring. Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu 90⁰. Tidak mempunyai simetri lipat dan putar. Dalam segitiga siku-siku yang sebuah sudutnya 30^o,  panjang sisi siku-siku dihadapan sudut itu sama dengan setengah sisi miring. Kalau dalam sebuah segitiga siku-siku sebuah dari pada sisi siku-sikunya sama panjangnya dengan setengah sisi miring, maka sudut yang dihadapan sisi siku-siku itu 30^o.

Kalau dalam sebuah segitiga yang salah satu daripada sudutnya 30^o, sebuah sisinya setengah daripada sisi yang lain, maka sudut dihadapan sisi yang akhir sudut suku-siku. Dalam segitiga siku-siku panjang sisi berat dari sudut siku-siku setengah daripada sisi miring. Kalau panjang sebuah garis berat ke sebuah sisi, setngah daripada sisi itu, maka sisi itu ialah sisi miring sebuah segitiga siku-siku.

Rumus Keliling Segitiga:

Keliling = panjang sisi 1 + panjang sisi 2 + panjang sisi 3

Rumus Luas Segitiga:

Luas = 

Teorema Heron

 

Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

 

1.Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A.

2. Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B.

3. Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C.

Dalil Pythagoras

 

Segitiga siku-siku

Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa:

 

Keterangan:

a : sisi datar (Panjang dari sisi terpanjang/hipotenusa, selalu terletak diseberang sudut siku-sikunya.)

b : sisi tegak

c : sisi miring

Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.

2.6.1 Sudut

Sudut adalah bangun ruang yang terjadi jika dua sinar garis memiliki pangkal yang sama. Sinar garis tersebut disebut kaki sudut. Pangkal sinar disebut titik sudut.Pengukuran sudut adalah membandingkan sudut yang akan diukur dengan sudut pembanding. Sebuah sudut dapat ditempatkan pada sudut yang lain untuk memperoleh bahwa yang pertama lebih kecil, sama atau lebih besar dari sudut yang kedua.

Sudut dalam geometri adalah besaran rotasi suatu ruas garis dari satu titik pangkalnya ke posisi yang lain. Selain itu, dalam bangun dua dimensi yang beraturan, sudut dapat pula diartikan sebagai ruang antara dua buah ruas garis lurus yang saling berpotongan. Besar sudut pada lingkaran 360°. Besar sudut pada segitiga siku-siku 180°. Besar sudut pada persegi/segi empat 360°. Untuk mengukur sudut dapat digunakan busur derajat. Tiap sudut segitiga sama sisi masing masing 60°, karena semua sudutnya sama besar maka 180° :3 = 60°. Sedangkan tiap sudut persegi 90° karena semua sudutnya juga sama besar maka 360° : 4 = 90°

2.6.2 Jenis-Jenis Sudut Segitiga

a. Sudut lancip

Sudut lancip Adalah sudut yang besarnya antara 0 derajat sampai 90 derajat. Sudut yang pasti ada di dalam segitiga. Di dalam segitiga pasti ada dua sudut yang merupakan sudut lancip. Karena suatu segitiga pasti jumlah sudutnya yaitu 180 derajat.

b. Sudut siku – siku

Sudut yang besarnya 90 derajat. Untuk membuat sudut siku-siku, bisa kita lakukan langkah-langkah berikut. Pertama ambil sebuah kertas. Sebarang kertas yang penting mudah untuk dilipat. Kemudian lipat kertas itu sekali lipat. Sehingga terbentuk sebuah garis di lipatan tersebut. setelah melipat sekali. Lipat lagi kertas tersebut dengan cara lipatan yang lurus tadi berhimpitan. Maka jadilah sudut siku-siku yang besanya 90 derajat.

c. Sudut tumpul

Sudut besarnya lebih dari 90° tetapi kurang dari 180°.

Sudut A adalah sudut tumpul (90° ∠ A ∠ 180°)

d. Sudut azimuth

Sudut azimuth adalah sudut pada suatu titik yang menyatakan suatu arah terhadap arah utara yang diukur menurut arah putaran jarum jam. Sudut azimuth biasa digunakan dalam menentukan arah. Besar sudut biasa dinyatakan dengan tiga angka yang dimulai dari 000 – 360. Contoh

- A terletak pada jurusan 065° dari B

- B terletak pada jurusan 135° dari A

e. Sudut dalam berseberangan

Garis m sejajar garis p, ∠α dan ∠β adalah sudut- sudut dalam berseberangan (sudut – sudut dalam berseberangan sama besar)

f. Sudut luar berseberangan

Garis m sejajar garis p. sudut – sudut berseberangan adalah : ∠1 dan ∠3 (besar sudut sama besar). ∠2 dan ∠4 (besar sudut sama besar).

g. Sudut bertolak belakang

Dua garis yang berpotongan terbentuk sudut – sudut yang bertolak belakang

∠1 bertolak belakang dengan ∠3, ∠2 bertolak belakang dengan ∠4. Sudut – sudut yang bertolak belakang sama besar.

h. Sudut depresi

Sudut pada suatu titik yang diukur terhadap garis horizontal kesuatu arah dan berada dibawah garis horizontal.

∠α adalah sudut depresi dari A ke B.

i. Sudut elevasi (sudut ketinggian)

Sudut pada suatu titik yang diukur terhadap garis horizontal kesuatu arah dan berada diatas garis horizontal

∠α adalah sudut elevasi dari A ke B.

j. Sudut lurus (sudut yang besarnya 180°)

k. Sudut reflek (sudut yang besarnya 180°∠α∠360°)

BAB III

PENUTUP

3.1        SIMPULAN

Berdasarkan materi di atas dapat disimpulkan :

1.        Geometri Euklid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas, artinya hasil-hasil penting / teotema-teorema tersebut merupakan akibat dari postulat sejajar.

2.        Peran postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan apabila dideduksi dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat lainnya yang lebih pasti.

3.        Kesebangunan yaitu bangun-bangun yang memiliki bentuk yang sama dengan ukuran yang sama atau berbeda.

4.        Pengertian Kongruen

Bangun-bangun geometri dikatakan kongruen (sama sebangun) jika dan hanya jika bangun-bangun itu mempunyai ukuran dan bentuk yang sama.

3.2       SARAN

       Adapun saran yang dapat dikemukakan yaitu bagi para pembaca dapat menelaah lebih jauh lagi tentang geometri euclide agar dapat diketahui pengetahuan mendalam tentang teori tersebut dan dapat menerapkan dalam kehidupan sehari-hari.

4.       

DAFTAR ISI

Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Erlangga.

https://ms.wikipedia.org/wiki/Geometri_Euclid diunduh pada 10 Agustus 2015

http://litfia-kesebangunan-kongruensi-segi3.blogspot.com/2014/03/makalah   

kesebangunan-segitiga-dan.html di unduh pada tanggal 10 Agustus 2015

Raharja, Basuki. 2010. Kesebangunan Segitiga. diunduh melalui http://basukiraharja.wordpress.com/2010/09/04/kesebangunan-segitiga/ pada tanggal 10 Agustus 2015.